Probabilmente è una cosa che non ci riguarda perché per noi italiani la pizza non va condivisa, al massimo si può dividere in due solo con la tua dolce metà. Però, come abbiamo imparato da serie tv e film, gli inglesi e gli americani hanno questa (per noi assurda) usanza di prendere una pizza e dividerla per cinque, sei, sette persone… Per questo motivo, non appare così folle – diciamo – il fatto che un certo L.J. Upton abbia dato vita a un teorema che spiega come dividere esattamente una pizza, in modo che tutti ne mangino la stessa quantità.
Otto fette e un punto segreto: cosa dice il teorema
Si chiama proprio Teorema della Pizza, quello pubblicato sulla rivista Mathematics Magazine nel 1968, che propone un modo per tagliare quel disco di pasta in modo perfettamente uguale per ogni commensale. Quindi, verrebbe da pensare che qualcuno ci abbia semplificato il lavoro, ma quando la matematica si mette in mezzo, lo sappiamo, nulla è mai facile (e adesso arriva pure a rovinarci la pizza).
Comunque sia, secondo il teorema si parte scegliendo un punto a caso sulla pizza e realizzando il primo taglio dritto. Si procede poi realizzando un altro taglio che sia però perpendicolare al primo, facendolo passare esattamente per lo stesso punto di prima, così da formare quattro angoli da 90 gradi. Per visualizzarlo meglio, considera che gli spicchi hanno la punta tutti nello stesso punto, indipendentemente da quanto siano lunghi. Infine si tagliano a metà i quattro angoli ottenuti, sempre passando per quel punto centrale scelto all'inizio, realizzando così otto fette. Una volta tagliata, anche il modo in cui mangiarla segue un preciso ordine: si prende una prima fetta qualsiasi e si procede in maniera alternata, quindi 1, 3, 5, 7 e l'altro commensale prenderà le fette numero 2, 4, 6, 8. Questo perché, secondo il teorema della pizza, "il totale dell'area degli spicchi di un colore è uguale all'area degli spicchi dell'altro colore". Il motivo è una questione di simmetria: è vero che i tagli non passano per il centro ed è vero che, a occhio, le fette non sono uguali, ma la simmetria dei tagli fa sì che le aree si compensino. Quindi, se sommiamo le fette alternate, le differenze di dimensioni tra una fetta grande e una piccola si annullano a vicenda.
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Il teorema è stato spiegato varie volte e la "dimostrazione senza parole" di Larry Carter e Stan Wagon resta una delle più efficaci. Mostrano in maniera visiva e immediata come, suddividendo ulteriormente gli spicchi, ogni porzione trovi la propria controparte esatta tra gli spicchi dell'altro colore: in questo modo le aree si compensano perfettamente, quasi come in un puzzle.
E se i commensali sono più di due?
Essendo otto le fette ricavate nel modo che abbiamo spiegato prima, è chiaro che la suddivisione vale nel caso in cui i commensali siano pari. Se i commensali, invece, sono 3, bisogna suddividere ulteriormente gli angoli retti in 3, in modo da ottenere 12 spicchi e, quindi, 4 a testa, da prendere sempre alternando commensale 1, 2 e poi 3. Anche in questo caso, la somma delle aree degli spicchi dello stesso colore è uguale a quella degli spicchi degli altri colori e, quindi, ogni commensale avrà la stessa quantità di pizza.
I "limiti" del teorema e le condizioni da rispettare
C'è una condizione necessaria perché tutto ciò che abbiamo spiegato possa accadere, spiegano i teorici: il numero di tagli deve essere pari e multiplo di 4 (questo genera 8, 12, 16 fette e così via). Quando il numero di tagli è dispari, come 3 tagli (6 fette) o 5 tagli (10 fette) – o nell'unica eccezione pari in cui i tagli siano 2, che darebbero 4 fette -, l'equilibrio si rompe. Il motivo, anche in questo caso, è legato alla simmetria del cerchio: solo con un numero sufficiente di tagli, ogni fetta trova la sua "compagna" che la bilancia. Se le fette sono sei o dieci, questa corrispondenza matematica non esiste più.
Quando il numero di tagli non è pari e multiplo di quattro, la proprietà dimostrata dal Teorema della Pizza non vale più in modo generale. In questi casi non è garantito che la somma delle aree delle fette alternate sia esattamente uguale. Con un numero dispari di tagli che passano per lo stesso punto interno al disco, la simmetria rotazionale su cui si basa il teorema viene meno e la compensazione perfetta tra le porzioni non si verifica automaticamente.
Studi successivi hanno analizzato queste configurazioni, mostrando che la differenza tra le porzioni dipende dalla disposizione angolare dei tagli. In alcune configurazioni, la porzione che include il centro del disco può risultare leggermente più estesa; in altre può essere leggermente inferiore. Non è il “centro” in sé a determinare il vantaggio, ma il modo in cui le aree dei settori si distribuiscono attorno al punto scelto.
In sintesi: solo quando i tagli sono in numero pari e multiplo di quattro l’uguaglianza delle somme alternate è garantita per qualunque punto interno scelto. Negli altri casi possono emergere piccole differenze di area, che dipendono dalla geometria specifica della suddivisione.
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